25.12.2015-01:37:00   |   Radoslav Janoštiak
#Živá príroda
#Veda
#Longformy
Matematika môže byť nielen užitočná, ale aj nesmierne zaujímavá. Jednou z jej (podľa mňa) najzaujímavejších minioblastí je Fibonacciho postupnosť a číslo zlatého rezu (Fibonacci sequence and golden ratio). Očividne nie som jediný, koho zaujali, pretože podľa Google existujú milióny odkazov na stránky, ktoré sa nimi zaoberajú.



Základ chápania tohto matematického fenoménu položil Leonardo Bonucci (Fibonacci je skratka od filius Bonacci – syn Bonacci-ho, alternatívne Leonardo Pisano, Leonardo da Pisa) v knihe „Liber Abacci“. Vvysvetľoval ho na príklade rozmnožovania králikov. Položil si otázku, koľko králikov bude na poli po roku, ak na začiatku vypustí jeden pár, pričom splnené budú nasledovné podmienky: žiaden králik nezomrie, pohlavnú dospelosť králiky dosiahnu po jednom mesiaci a pri každom pôrode sa narodí jeden pár králikov.

Prvých pár mesiacov bude vyzerať takto (čísla v ľavom stĺpci označujú mesiace, čísla v pravom počet párov králikov):


-



Z rozmnožovania králikov odvodil postupnosť dnes známu ako Fibonacciho číselná postupnosť. Je to vlastne postupnosť čísel, kde nasledujúce číslo je súčtom dvoch predchádzajúcich a vyzerá takto:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597....

Na prvý pohľad ide o obyčajnú postupnosť čísel, jednoduché sčítavanie. No môžeme z nej odvodiť zaujímavé veci.
Začnime určovať pomer dvoch susedných čísel, pomer nadchádzajúceho k predošlému:


-





Určite ste si všimli, že výsledné pomery oscilujú okolo čísla 1,61803. Je to číslo s nekonečným desatinným rozvojom a ako prvý ho použil Euklidus, pretože bolo veľmi dôležité v geometrii pravidelných pentagramov a pentagónov. V súčasnosti je označované ako ϕ, číslo zlatého rezu, alebo v prípade kreacionistov božská proporcia (golden ratio/divine proportion). Toto číslo je definované geometricky ako pomer dĺžok:


-



Pomocou „zázračných“ matematických operácii dostávame algebrický zápis:

ϕ = (1+√5)/2 = 1,6180339887.....


Opusťme teraz matematiku a pozrime sa na Fibonacciho čísla v prírode. V priebehu evolúcie sa všetky živé organizmy snažia optimalizovať svoj rast a efektívne využívať zdroje. Fibonacciho postupnosť a číslo zlatého rezu sa ukázala ako jedna z možností.
Pozrime na rastliny a rozloženie listov na stonke.


-





Mnohé rastliny nasadzujú listy na stonke v špirále, takže každý ďalší list vyrastie posunutý o určitý uhol oproti predchádzajúcemu. Ak by sme následne spočítali, koľký list v poradí sa bude nachádzať presne nad prvým a dali výsledok do pomeru s počtom otáčok špirály vytvorenej listami, dostali by sme tzv. číslo phyllotaxie, napr. 1/3, 2/5, 3/8 – všetko čísla Fibonacciho postupnosti. Matematické modelovanie dokázalo, že takýmto nasadzovaním listov rastlina optimalizuje množstvo slnečného žiarenia a množstvo vody, ktoré sa dostávajú jednotlivým listom.

Podobne sú nasadzované aj okvetné lístky (lupienky) v kvetoch. Počet okvetných lístkov u drvivej väčšiny rastlín je rovný niektorému z Fibonacciho čísel. Napríklad taká margarétka môže mať 13, 21, 34 alebo 55 okvetných lístkov.

Fibonacciho čísla môžeme nájsť aj pri dalších rastlinných častiach, ktoré potrebujú byť optimalizované. Ak by sme sa pozreli na ihličnanové šišky, ananás alebo semienka v slnečnici, zistili by sme, že sú usporiadané do špirál. V tomto prípade ide o optimalizáciu množstva semienok na určitú plochu bez zbytočného nevyužitého miesta či presahov. Šišky a semienka slnečnice tvoria dva typy špirál – v smere a v protismere chodu hodinových ručičiek. Ananás pridáva ešte jednu navyše.


-



Aké čísla dostaneme, ak spočítame počet špirál? Opäť to budú Fibonacciho čísla. Slnečnicové semienka - 34 v smere a 55 proti smeru, šišky 8/13 a ananás 5/8/13. A ako iste správne počítate, pomer počtu špirál predstavuje číslo zlatého rezu. Podobné špirály môžeme nájsť aj v ďalších kvetoch či zelenine (napr. kaleráb) alebo v jednom z najkrajších príkladov Fibonacciho postupnosti v prírode, ktorým je romanesco – kríženec karfiolu a brokolice, karfiolica (dole). Romanesco ukazuje fraktálovú štruktúru Fibonacciho postupnosti – do fraktálov ale tentoraz zachádzať nebudem.


-




Fibonacciho čísla sa v neposlednom rade objavujú pri optimálnom vetvení rastlinných stoniek, stromov ale aj priedušiek a priedušničiek. A dostávame sa späť ku Fibonacciho králikom z úvodu. Králičí rodokmeň má rovnaký tvar ako stonky rastlín či priedušky a priedušničky:


-



Fibonacciho čísla a zlatý rez boli popísané aj na ľudskom tele – ide o rôzne pomery na tvári, pomery kostí na ruke, nohe a inde. Na tieto príklady by sme sa ale mali pozrieť kritickým okom a odlíšiť tie takpovediac „napasované“ od skutočných. Jedným z príkladov Fibonacciho postupnosti, ktorý mne osobne pripadá reálny, sú pomery článkov prstov na ľudskej ruke. Nielenže dĺžky jednotlivých článkov sú v pomere čísla zlatého rezu. Navyše, keď prsty pokrčíme a zovrieme v päsť, je priestor optimálne vyplnený.


-






Vráťme sa na chvíľu späť k číslam a geometrii. Ďalšia zaujímavá matematická operácia, ktorú môžeme aplikovať na Fibonacciho postupnosť, je umocňovanie a následné sčítanie.

Pôvodná Fibonacciho postupnosť: 1 1 2 3 5 8 13 21 34....
A druhé mocniny čísel: 1 1 4 9 25 64 169 441....

Spočítajme teraz druhé mocniny prvých 8 čísel postupnosti:
12+12+22+32+52+82+132+212=714


A čo sa stane ak vynásobím číslo 21 číslom 34?
21x34=714

Prekvapivé? :)


Ak teraz nahradím Fibonacciho čísla štvorcami predstavujúcimi ich druhé mocniny a postupne ich budem skladať dokopy, dostanem sa k obrázku (L), kde obsah obdĺžnika tvoreného týmito štvorcami môže byť jednak suma ich obsahov alebo násobok jeho strán (21x(21+13)) = 714. Tento obdĺžnik je príkladom tzv. zlatého obdĺžnika (golden rectangle). Všimnime si, že strany obdĺžnika môžeme rozdeliť na základe štvorcov s dĺžkou strany rovnou Fibonacciho číslam a výsledné pomery sa budú limitne blížiť k ϕ. Ak následne každému z daných Fibonacciho štvorcov opíšeme kružnicu so stredom v jednom rohu a polomerom daného Fibonacciho čísla, dostaneme špirálu, a áno, hádate správne, zlatú špirálu (golden spiral) :) - špeciálny prípad logaritmickej špirály.


-



Keďže táto zlatá špirála je odvodená od Fibonacciho čísel, je pochopiteľné, že bude mať rôzne zaujímavé vlastnosti. Všimol si to aj matematik Jacques Bernoulli (strýko Daniella Bernoulliho, vďaka ktorému lietadlá lietajú) a nazval ju Spira Mirabilis. Špirála sa síce zväčšuje, ale jej tvar ostáva rovnaký. Jej polomer sa exponenciálne zvyšuje a narastá ϕ-násobne každú štvrťobrátku, tj. 90°, čo je zrejmé aj z vyššie uvedeného obrázku.

Každá štvrťobrátka špirály je tvorená štvorcom so stranou rovnou Fibonacciho číslu (21). To je približne ϕ-násobne väčšie ako číslo (13), ktoré sa rovná strane predchádzajúceho štvorca (13 x ϕ = 21). Tvar tejto špirály je taktiež v prírode široko rozšírený. Ide jednak o vyššie spomínané špirály slnečnicových semienok, šišky uhličnanov, či ruka zovretá v päsť, ktorá pripomína zlatú špirálu (vzhľadom na skutočnosť, že dĺžka článkov prstov pomerovo tvorí Fibonacciho postupnosť, to nie je prekvapivé).



Jedným z údajne najelegantnejších a najnázornejších príkladov tejto špirály v prírode je ulita morského mäkkýša – lodičky (Nautilus). Pravda, presnejšie merania ukazujú na pomery 1,24-143, v priemere 1,33, čo nezodpovedá hodnote ϕ (1,618).


-



Tvar tejto zlatej špirály je základom aj iných obrovských až gigantických útvarov ako sú hurikány alebo dokonca jeden typ galaxií.


-



Fibonacciho postupnosť je príkladom toho, že matematika môže byť akýmsi univerzálnym jazykom, ktorým príroda prezrádza zákony a princípy, na základe ktorých funguje. Na druhej strane, ukazuje nám, že v priebehu evolúcie sa biologické systémy pod vplyvom prírodného výberu spravidla vyvíjali smerom k čo najnižším nákladom s najvyšším výnosom.

V neposlednom rade, aj pri aplikácii Fibonacciho postupnosti a čísla zlatého rezu na biologické a iné systémy je dôležité zachovať si kritický pohľad (pozn. red.: napríklad tvrdenie, že sa zlatý rez často využíva v umení a architektúre, alebo že sú vďaka nemu predmety, fotky, obrazy atď. pre človeka viac estetické, je mýtus). Prirodzená ľudská vlastnosť je hľadať vzory a súvislosti, a tak sa stáva, že identifikujeme súvislosti tam, kde žiadne nie sú, ako napr. pri zámene časovej následnosti s príčinnou súvislosťou pri očkovaní a autizme.


-



Dodatok autora a redakcie: Ako sme videli na príklade schránky lodičky, mnohé populárne príklady zlatého rezu nie sú jeho presnými prejavmi. Nemali by sme ich chápať ako dokonalé manifestácie matematického princípu, ale ako približovanie sa istému vzorcu v dôsledku evolučnej snahy optimalizovať rast. Smerovanie k akémukoľvek precíznemu geometrickému optimu u živých organizmov totiž zamedzujú vývinové procesy, na ktoré vplýva obrovské množstvo faktorov (preto ani vaša pravá a ľavá ruka nie sú od narodenia identické).

Platí to aj v neživej prírode. Vidíme to na príklade gule, ktorá predstavuje tvar s najnižšou energiou. Napriek tomu sú v prírode objekty s dokonalým guľovitým tvarom vzácne. Rovnako je to pri zlatom reze - galaxie a hurikány nie sú jeho dokonalými prejavmi.

V otázke, čo považovať za príklad zlatého rezu a čo nie, sa môžu názory vedcov rozchádzať v závislosti od toho, ktorý vedný odbor zastupujú. Kým zástupcovia tak exaktnej vedy ako je matematika mnohé príklady zrejme zamietnu, biológovia (ako napr. autor), vedomí si povahy vývinových a vývojových procesov, ich pokojne môžu akceptovať.

Zdroje
Mario Livio – The golden ratio. ISBN:1469286092
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-11-1.html
https://www.youtube.com/watch?v=4oyyXC5IzEE – prednáška prof. K. Devlin, Sandford University
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01964794
http://respiratory-care-sleep-medicine.advanceweb.com/Article/The-Lung-Redefined.aspx
http://austinpublishinggroup.com/surgery/fulltext/ajs-v2-id1066.php
Páčia sa Vám naše články? Podporte nás

Zdieľajte článok






Za podporu ďakujeme

Pridať e-mail